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红楼&游戏

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我们身处在一个悲哀的国家, 我们同胞的血脉中流动着短视的劣根性, 我所从事的行业正处于黑暗的时代, 我没有热血,但一息尚存。

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从圣彼得堡悖论说开去(谈及游戏中的概率)  

2006-11-17 15:15:54|  分类: 游戏设计 |  标签: |举报 |字号 订阅

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近日在讨论FF某线上活动的概率设计的过程中,我想起了著名的圣彼得堡悖论,这一悖论是Daniel Bernouli提出的一个概率期望值悖论,它来自于一种掷币游戏,即圣彼得堡游戏(见表)。设定掷出正面或者反面为成功,游戏者如果第一次投掷成功,得奖金2元,游戏结束;第一次若不成功,继续投掷,第二次成功得奖金4元,游戏结束;这样,游戏者如果投掷不成功就反复继续投掷,直到成功,游戏结束。如果第n次投掷成功,得奖金2^n元,游戏结束。按照概率期望值的计算方法,将每一个可能结果的得奖值乘以该结果发生的概率即可得到该结果奖值的期望值。游戏的期望值即为所有可能结果的期望值之和。随着n的增大,以后的结果虽然概率很小,但是其奖值越来越大,每一个结果的期望值均为1 ,所有可能结果的得奖期望值之和,即游戏的期望值,将为无穷大。按照概率的理论,多次试验的结果将会接近于其数学期望。但是实际的投掷结果和计算都表明,多次投掷的结果,其平均值最多也就是几十元。这就出现了计算的期望值与实际情况的矛盾,问题在哪里?实际在游戏过程中,游戏的收费应该是多少?决策理论的期望值准则在这里还成立吗?

 

圣彼得堡游戏

n

P(n)

奖金

期望奖金

1

1/2

2

1

2

1/4

4

1

3

1/8

8

1

……

……

……

……

9

1/512

512

1

……

……

……

……

n

1/2^n

2^n

1

理论上期望值的计算没有什么错误,我们需要承认它的期望值是无穷大;而实际上它的均值又不可能是无穷大,因为它是样本均值,样本均值随着样本容量的增加,以概率收敛于其期望值。这都是正常的,它们本身就是应该有差距的。至于差距应该有多大,在小于无穷大的时候,样本均值随着实验次数的增多,越来越接近总体均值(或理论均值),圣彼得堡游戏不正是这样的吗?而在总体均值是无穷大的时候,如何让样本均值如何接近无穷大呢?非得是我们认为的很大很大吗?再大也不是无穷大,和现在也没有区别,我们平时的“大小”概念已经不适应了。涉及无穷大概念比较的时候,就需要用相应的比较方法。圣彼得堡游戏的结果集合是一个无穷集合,而实际实验的样本是一个有穷集合,它们是不能用现有的办法比较的。

利用电脑进行模拟试验的结果说明,实际试验的平均值——样本均值是随着实验次数的增加而变化的。在大量实验以后,其实验均值x(e) 可以近N似表示为x(e)log n /log 2,可见当实验次数趋向无穷大的时候,!样本均值也趋向无穷大。比如 100万次实验的平均值约等于6/0.301=19.9,即20元左右;要样本均值达到1000元,实验次数就要达到10^332,这时候有可能出现的最高投掷次数约为1000 右,相 2^100010^301,已经达到天文数字。如果随着实验次数趋向无穷大,x(e)趋向于无穷大的速度是慢多了。

虽然圣彼得堡游戏问题只是一个具体问题,但是游戏中类似的实际问题是存在的。实际问题的解决还是要根据具体问题进行具体分析。运用实际推断原理,根据实验次数n设定一个相应的小概率,对于圣彼得堡问题来讲是一个很实际的方法;或者建立一个近似模型,比如确定一个最大可能成功的投掷次数n,将投掷n+1次以后的概率设为1/2^k,仍然符合概率分布的条件(所有结果的概率之和等于1)等等。

圣彼得堡问题对于我们的启示在于许多悖论问题可以归为数学问题,但它同时又是一个思维科学和哲学问题。人们总是不自觉地把模型与实际问题进行比较,但理论模型与实际问题并不是一个东西。圣彼得堡问题的理论模型是一个概率模型,它不仅是一种理论模型,而且本身就是一种统计的、“近似”的模型。在实际问题涉及到无穷大的时候,连这种近似也变得不可能了。在解决实际问题的时候,应高度重视理论和实践的关系,而不要被数学模型蒙蔽了眼睛。

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